「有個擲銀仔遊戲，重複地擲銀仔，直至擲到公為止，你贏多少取決於擲銀的次數: 擲第1次便是公，得$2，擲第2次才出現公(第一次是字)，得$4，擲第3次才出現公(首兩次都是字)，得$8，擲第4次才出現公(首三次都是字)，得$16，如此類推，每需擲多一次，金額倍增，次數沒有上限。玩這個遊戲要買入場票，你最多願意出多少錢去買?」 La Mancha的調查欄目提出以上問題，過去一星期收到共20個回應，12人答價值低於$2，六人答$2至$10，其餘二人答$1,000以上。最高和最低答案相差500倍，差異很大。數學家的答案是無限大，計法是這樣的: 票價 = 2*(1/2)+ 4*(1/4)+ 8*(1/8)+ 16*(1/16)+ ... = 1+1+1+1+... 因為遊戲規則是，如果擲不到公，需繼續擲下去，次數不設上限，所以將無限個1加起來，等於無限大。
可能你用心算，有一半機會得$2，如果入場費高於$2，有機會蝕，所以你的答案是$2以下。如果你選$2-$10，大概是希望多付少少去碰運氣。茶怪的計法是這樣的: 拿個銀仔去擲，模擬玩，重複幾盤，然後計平均數，答案是$8。究竟那個答案才是對的? 要視乎情況而定: 如果遊戲重複玩無限多次，數學家的答案是對的。總會有機會贏到一億個億。但是現實世界裡，就是不可能有無限個機會。茶怪好想與選$1000以上的網友對賭，你付$1,000，茶怪做莊，讓茶怪賺多少，作為寫網誌的報酬。$8是答案嗎? 又不是，如果拿入場券炒賣，茶怪恐怕要坐艇，因為大部分人認為入場券只值$2。
9 則留言:
根據利潤最佳化的原則，一定係選 $2.
不知是否小弟對規則有所誤會，不是很明白數學家為何會這樣算。雖然理論上是有機會贏得無限大的回報，不過換個角度想，如要贏得 $1000 以上的回報，便已經要先連續 9 次擲出「字」，機率只得 1/2 的 9 次方。出現更高回報的機率，更是小得多。
想深一層，或許數學家的計法只是收多少門票才一定不會賠本？不過作為莊家，應該只要贏面大於一半，長遠來說就可以贏了吧？就像賭場、保險公司，一樣是有機會賠本，但規模夠大的話機會已經是小得值得經營。
(我是 2/F 的 Anonymous)
chainsaw riot: 點解咁肯定?
anonymous:對，要贏1,000，機會雖然小，但回報大，係2的9次方。
2/F的anonymous: 所謂贏面大過一半，是一個50/50的game，贏輸金額勻等，即係如果有一個遊戲，擲公字，公即贏$2，字無錢，入場券"數學上"值$1= 0*(1/2)+ 2*(1/2)。
大家想知多d，可以上wikipedia，search "Petersburg Paradox".
k純粹用市井觀點分析，無學術成份。
點解咁肯定。因為在這個問題無講到上升和降低入場費有沒有任何後果。如果沒有後果的話，那一定係將入場費降到最低值對參加者最有利。
用你最愛的奶茶講。雖然茶餐廳賣十蚊杯奶茶。對消費者最理想的價錢應該係免費任飲，如果免費獲得奶茶沒有任何後果的話。（e.g. 茶餐廳派奶茶：會令到茶餐廳倒閉。我去偷奶茶：我會被差佬捉。）
看過 wikipedia 的相關文章及再三思考後，雖然未能完全掌握，但已可肯定數學家的計算方法是正確的。
換言之，其實這個遊戲莊家長遠必敗；如果參加者有夠多的金錢的話...。
不過誠如茶怪兄所言，大部份人只認為值$2，如有價值投資者於$2以上的任一個「合理價」入貨炒賣的話，也只有坐艇的份兒。
2/F 的 Anonymous
chainsaw riot: 奶茶，近排胃痛，冇飲。
2/F的Aonymous: 我寫完至睇wiki，發覺原本愈計愈複雜。
In practice, the game can never be played:
The theory is right, but the ultimate goal of a gamble is to win in the long term, so any games that generates un-capped payoffs (even at very low probability) should never be considered.
If there is no time or no of toss constraints, mkt maker will always lose money. If the entrance fee is set so that it offsets the payoff in the long run, it will be too expensive for anyone.
I'm curious to see the Monte Carlo simulation for this game. Could deviate a lot from what the theory says.
BTW, it is now impossible to leave non-google links in comments. Damn!
what i did by tossing coin is a Monte carlo simulation at its simplest form, haha.
Google add new restriction of linking the outside commentors, disappointing, evil. the founders said they avoid doing evil things, don't they?
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